r - вектор направляющих косинусов между сейсмическим воздействием и обобщенными координатами;
- сейсмическое воздействие, определенное в терминах ускорения грунта (основания); Fe - вектор реактивных сил, возникающих от дополнительных, в том числе от нелинейных, связей системы;
Х - вектор узловых перемещений;
Х' - вектор узловых скоростей;
X" - вектор узловых ускорений.
Для решения уравнения (1) выполняется модальное преобразование:
, (2) где Ф - матрица, состоящая из n столбцов форм собственных колебаний системы;
Y - новые модальные обобщенные координаты.
После подстановки (2) в (1) и домножения всего уравнения слева на 
, получим:
, получим:  | |
| 494 × 30 пикс. Открыть в новом окне | |
Учитывая свойства ортогональности матриц масс, жесткости и демпфирования, можно записать:
; (4)
; (5)
, (6) где I - единичная матрица;
- диагональная матрица модального демпфирования;
- диагональная матрица модальной жесткости;
- n-я собственная частота колебаний системы;
- коэффициент модального демпфирования, соответствующий n-й собственной частоте. После указанных преобразований уравнение (3) принимает вид:
, (7)где
. (8)
 | |
| 214 × 30 пикс. Открыть в новом окне | |
Вектор 
, представленный в правой части уравнения (7), может трактоваться как модальный вектор внешних и реактивных нагрузок. Следует отметить, что если размерность исходной системы уравнений (1) соответствует общему числу степеней свободы, представленных в расчете (поступательные и вращательные перемещения расчетных сечений системы), то размерность уравнения (7) соответствует числу форм собственных колебаний, учитываемых в расчете.
, представленный в правой части уравнения (7), может трактоваться как модальный вектор внешних и реактивных нагрузок. Следует отметить, что если размерность исходной системы уравнений (1) соответствует общему числу степеней свободы, представленных в расчете (поступательные и вращательные перемещения расчетных сечений системы), то размерность уравнения (7) соответствует числу форм собственных колебаний, учитываемых в расчете. В рамках метода динамического анализа уравнение движения системы (7) решается прямым пошаговым интегрированием этих уравнений с применением центрально-разностной схемы. Начальные условия (перемещения, скорости и ускорения точек системы в нулевой момент времени) предполагаются нулевыми. Может быть применена следующая конечно-разностная аппроксимация для текущих значений скоростей и ускорений:
; (9)  | |
| 234 × 29 пикс. Открыть в новом окне | |
Подставляя соотношения (9) и (10) в (7), получим выражение для 
:
:
; (11)  | |
| 274 × 35 пикс. Открыть в новом окне | |
Приложение
Справочное
Термины и определения
Землетрясение (сейсмическое воздействие) - колебания земли, вызываемые прохождением сейсмических волн, излученных из какого-либо очага упругой энергии.
Интенсивность землетрясения - мера величины сотрясения грунта, определяемая параметрами движения грунта, степенью разрушения сооружений и зданий, характером изменений земной поверхности и данными об испытанных людьми ощущениях.
Сейсмичность площадки строительства - интенсивность возможных сейсмических воздействий на площадке строительства с соответствующими категориями повторяемости за нормативный срок. Сейсмичность устанавливается в соответствии с картами сейсмического районирования и (или) микрорайонирования площадки строительства. Она измеряется в баллах по шкале MSK-64.
Сейсмостойкость энергетического оборудования - способность конструкции сохранять в определенной степени прочность, устойчивость, герметичность и работоспособность при землетрясении.
Акселерограмма землетрясения - зависимость от времени абсолютного ускорения грунта (основания) для определенного направления в виде графика или в табличной форме (оцифровка).
Аналоговая акселерограмма - запись реального землетрясения, используемая для расчета на сейсмостойкость.
Синтезированная акселерограмма - акселерограмма, полученная аналитическим путем на основе обработки и статистического анализа ряда аналоговых акселерограмм.
Ответная акселерограмма - акселерограмма точки конструкции, определяемая из расчета вынужденных колебаний при сейсмическом воздействии.
Поэтажная акселерограмма - ответная акселерограмма отдельных высотных отметок сооружения, на которых установлено оборудование.
Спектр ответа (реакций) - совокупность абсолютных значений максимальных ответных ускорений линейно-упругой системы с одной степенью свободы (осциллятора) при воздействии, заданном акселерограммой; эти значения определяются в зависимости от собственной частоты и значения относительного демпфирования осциллятора.
Расширенный спектр ответа - спектр, полученный путем расширения пиков спектра ответа в целях повышения надежности выполняемых расчетов на сейсмостойкость.
Огибающий спектр ответа - спектр, полученный по результатам обработки спектров ответа, для набора аналоговых и (или) синтезированных акселерограмм.
Спектр коэффициентов динамичности - безразмерный спектр, полученный делением значений спектра ответа на максимальное пиковое значение ускорения соответствующей акселерограммы.
Статический метод расчета на сейсмостойкость - упрощенный метод, согласно которому распределение сейсмических нагрузок, действующих на конструкцию, принимается подобным распределению массы, а величины этих нагрузок определяются при помощи набора коэффициентов.
Линейно-спектральный метод расчета на сейсмостойкость - метод, в котором величины сейсмических нагрузок определяются по спектрам ответа в зависимости от частот и форм собственных колебаний конструкции.
Метод динамического анализа сейсмостойкости - метод численного интегрирования уравнений движения, применяемых для анализа вынужденных колебаний конструкции при сейсмическом воздействии, заданном акселерограммами землетрясений.