Свод правил СП 268.1325800.2016 "Транспортные сооружения в сейсмических районах. Правила проектирования" (утв. приказом Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ от 16 декабря 2016 г. N 986/пр) стр. 13

, (B.1)

где ; (В.2)

. (В.3)

В начальный момент времени перемещения и скорости относительного движения масс равны нулю. Следовательно, искомая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению (В.1) и начальным условиям

, . (B.4)

Уравнение (В.1) с начальными условиями (В.4) решается методом интегрального преобразования Лапласа. Изображения по Лапласу функций и обозначают соответственно и . Преобразуя оператором Лапласа

211 × 73 пикс.     Открыть в новом окне

обе части уравнения (В.1) и учитывая начальные условия (В.4), получают уравнение относительно изображения по Лапласу искомой функции :

299 × 30 пикс.     Открыть в новом окне

(B.5)

После очевидных преобразований уравнение (В.5) записывают в виде

. (B.6)

где R(p) - квадратный трехчлен комплексного переменного р с матричными коэффициентами Е, и (Е - единичная матрица), вычисляемый по формуле

. (В.7)

Решение уравнения (В.6) очевидно

(В.8)

Преобразуя оператором обе части выражения (В.8), получают искомую функцию

210 × 36 пикс.     Открыть в новом окне

. (B.9)

Матрица R(р), выраженная формулой (В.7), может быть представлена в виде произведения трех матриц

252 × 35 пикс.     Открыть в новом окне

. (В.10)

В силу свойств матриц и С их произведение приводится к диагональной форме некоторым неособенным преобразованием, заданным матрицей Р

, (B.11)

где - собственная частота колебаний системы.

То же преобразование приводит к диагональной форме матрицу , т.е.

, (В.12)

где - коэффициент затухания свободных колебаний.

Используя формулы (В.11) и (В.12), получают представление матриц и в виде

, (В.13)

. (В.14)

Подстановка выражений (В.13) и (В.14) в формулу (В.7) доказывает справедливость формулы (В.10). Таким образом, матрица R(р) может быть представлена произведением трех матриц с центральным членом в виде диагональной матрицы. Используя формулу (В.10), определяют

304 × 44 пикс.     Открыть в новом окне

. (В.15)

Из теории матриц известны формулы преобразования произведения трех матриц в сумму, что позволяет в данном случае записать равенство

268 × 89 пикс.     Открыть в новом окне

, (В.16)

где - i-й столбец матрицы Р - собственная форма колебаний системы;

- i-я строка матрицы .

На основании формул (В.8) и (В.16) изображение по Лапласу искомого решения

271 × 109 пикс.     Открыть в новом окне

. (В.17)

Выполнив обратное преобразование Лапласа над обеими частями уравнения (В.17), получают решение уравнения в виде

311 × 111 пикс.     Открыть в новом окне

. (В.18)

Координата вектора определяет упругие колебания системы с одной степенью свободы (например, консоли с массой на конце), вызванные движением основания, заданным соответствующей координатой вектора . Таким образом, задача определения относительного движения масс системы с несколькими степенями свободы сводится к решению задачи о колебаниях системы с одной степенью свободы при различных возмущениях, определению собственных форм колебаний системы и суперпозиции собственных форм согласно формуле (В.18).

Пусть переносные колебания масс отличаются амплитудой, т.е.

, (B.19)

где - функция, задающая движение основания во времени;

- вектор амплитуд переносного движения масс.

Дальнейшие упрощения решения уравнения (В.1) связаны с разложением вектора по системе векторов , определяющих собственные формы колебаний некоторой конструкции. Пусть

. (В.20)

Коэффициент Фурье находим обычным способом, умножая скалярно обе части равенства (В.20) на вектор и используя свойство ортонормированности векторов в М-метрике, т.е. формулу

207 × 28 пикс.     Открыть в новом окне

, (B.21)

где - символ Кронекера.

Получают тождество

# . (В.22)

Таким образом, коэффициент

. (В.23)