Где а и β - скаляры, названные Рэлеевскими коэффициентами демпфирования. Они связаны с коэффициентом демпфирования η следующей формулой:
(28) где
ω —частота колебаний.
5.7.12 Матрица жесткости определяется следующим образом:
(29) где [В] - матрица «напряжений-деформации»;
[С] - матрица упругости.
5.7.13 Вектор деформаций определяется из следующего выражения:
(30) где [В] - матрица деформаций;
и, v- узловые перемещения в направлениях по оси X и Y, соответственно. Вектор деформации также определяется составляющими:
(31) 5.7.14. Для задачи плоской деформации εz равен нулю, и матрица деформаций имеет вид:
(32) 5.7.15 В соответствии с теорией упругости основная формула зависимости напряжений и деформаций имеет вид:
(33) где [С] - матрица упругости, определяемая по следующей зависимости:
(34) где Е - модуль Юнга (модуль упругости при растяжении); v - коэффициент Пуассона.
5.7.16. Напряжения вычисляются в каждой точке сетки конечных элементов с помощью матрицы [С] следующим образом:
(35) 5.7.17 В результате преобразования формул (34) и (35) получаем формулу для определения напряжений и деформаций:
(36) 5.7.18 Коэффициент устойчивости определяется в каждый момент времени землетрясения как соотношение суммы сдвиговой прочности грунта и сдвигающих усилий по поверхности скольжения:
(37) где ΣSr - суммарная сдвиговая прочность грунта по поверхности скольжения;
ΣSm- сумма сдвигающих усилий по поверхности скольжения.
5.7.19 Расчет сдвигающей Sm и удерживающей Sr сил в каждом отсеке производится с учетом длин его основания:
Sr = Tr l;(38)
Sm = tm l (39)
5.7.20 Расчет сдвиговой прочности грунта tr в середине основания отсека производится с использованием критерия прочности Кулона - Мора:
(40) где σп - нормальное напряжение в середине основания отсека, кПа;
и- поровое давление в середине основания отсека, кПа.
5.7.21 Расчет нормального σп и касательного tm напряжений в середине основания каждого отсека производится с использованием формул:
где σx- полное напряжение в направлении оси X в середине основания отсека, кПа; σу- полное напряжение в направлении оси Y в середине основанияотсека, кПа;
Тху - касательное напряжение в плоскости XOY в центре основания отсека, кПа;
θ- угол между положительным направлением оси X и направлением
приложения нормального напряжения, град.
5.7.22. Допускается также определять коэффициент устойчивости склона учетом сейсмического воздействия без разбиения оползневого массива на отсеки исходя из величин нормального и касательного напряжений на элементарных площадках вдоль потенциальной кривой скольжения или методом снижения прочностных характеристик.
Приложение А (справочное) Пример расчета устойчивости склона псевдостатическим методом
А.1 Оценку устойчивости оползневого склона автомобильной дороги выполняем псевдостатическим методом в соответствии с разделом 5.5.
А.2 Исходные условия. Склон сложен оползневыми накоплениями, а их подошва (плоскость скольжения, см. рисунок А.1) является поверхностью ослабления. Угол внутреннего трения по поверхности ослабления составляет φ=10º (tgφ=0,176), а сцепление с=10кПа. В оползневых накоплениях, имеется безнапорный водоносный горизонт; уровень подземных вод (УПВ на рисунке А.1), подошва горизонта находится на больших глубинах ниже подошвы оползневых накоплений. Удельный вес оползневых накоплений составляет γ=17,2 кН/м3 как в пределах водоносного горизонта, так и выше уровня подземных вод.Склон находится в районе с сейсмичностью 9 баллов.
А.З Расчет коэффициента устойчивости псевдостатическим методом. Разбиваем массив оползневых накоплений на пятнадцать отсеков №№ 1-15, отличающихся по крутизне наклона аi, своей подошвы и βi уровня подземных вод (рисунок А.1). Для каждого отсека определяем площадь сечения Si , площадь обводненной части и длину подошвы li,. Полученные данные сводим в таблицу А.1. Вычисляем полный вес отсека pi=Siγ и вес отсека с учетом гидростатического взвешивания pi'=pi- ωiγвod (где γвod = 10 кН/м3 удельный вес воды), а также величины сдвигающих pi'sinai и нормальных усилий pi'cosai, создаваемых по подошве отсека весом вышезалегающих пород.
Так как оползневые накопления попадают в самую верхнюю часть водоносного горизонта, принимаем, что для всех обводненных отсеков уклон равнодействующей фильтрационного давления равен уклону уровня подземных вод, а величина гидравлического градиента равна Ii=sinβ. В соответствии с формулой (10) находим для каждого обводненного отсека нормальную () и тангенциальную () составляющие фильтрационного давления, =γвωiIisin(βi -ai) x 1м и = γвωiIicos(βi -ai) x 1м.
Сейсмические силы вычисляем в соответствии с формулой (10). При этом вес отсеков pi, определяется без учета гидростатического взвешивания, а коэффициент сейсмичности μ для расчетной сейсмичности 9 баллов по таблице 4 равен 0,1.
Рисунок А. 1 - Схема к расчету устойчивости склона псевдостатическим методом