Для вычисления площади простого многоугольника с любым количеством вершин, представленных в виде списка координат, при последовательном обходе которых, не образуются пересекающиеся линии, применяется формула Гаусса, иначе называемая "формулой землемера", "формулой геодезиста", "формулой шнурования", "алгоритмом шнурования", а также "методом треугольников".
Суть метода заключается в построении треугольников, состоящих из сторон многоугольника и лучей проведённых из начала координат к вершинам многоугольника, и сложении площадей треугольников, включающих внутреннюю часть многоугольника с вычитанием площадей треугольников, расположенных снаружи.
Формула Гаусса
Площадь, вычисленная по приведенной формуле, будет иметь отрицательное значение при обходе фигуры по часовой стрелке и положительное при обходе против часовой стрелки.
S - площадь многоугольника,
n - количество сторон многоугольника,
(xi, yi), i = 1, 2, …, n — координаты вершин многоугольника.
Примеры
1. Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости. Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую координату x первой вершины и умножим её на координату y второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определён по следующей формуле:
где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3.
Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5:
S для четырехугольника — переменные до x4 и y4:
2. Рассмотрим многоугольник, представленный на рисунке и заданный точками (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):
Площадь этого многоугольника:
Подпрограмма «Площадь и объем» на электронном тахеометре Leica серии TS02/06/09
Подпрограмма позволяет вычислять площади участков, ограниченных максимум 50-ю точками, соединенных отрезками прямой. Эти точки должны быть измерены, взяты из памяти либо заданы с клавиатуры - с расположением их по часовой стрелке. Вычисленная площадь проектируется на горизонтальную плоскость (2D) или на наклонную опорную плоскость, заданную своими тремя точками (3D). Кроме того, можно вычислить объем, заключенный между плоскостью с постоянной высотной отметкой и заданным полигоном (2D/3D).
P0 - Точка установки инструмента
P1 - Начальная точка
P2 - Проектная точка
P3 - Точка визирования
P4 - Точка визирования
a - Суммарная длина всех сегментов границы полигона от начальной точки до текущей измеренной точки.
b - Вычисленная площадь полигона, замыкающегося на начальную точку P1 и спроектированная на горизонтальную плоскость.
Вызов подпрограммы
1. Выберите Программы в Главном меню.
2. Откройте окно Площадь и объем из меню Программы.
На дисплее всегда будет показываться площадь, спроектированная на горизонтальную плоскость.
Назад - Отбраковка измерений или отмена выбора предыдущей точки.
РЕЗ-ТЫ - Вывод на дисплей и запись дополнительных результатов (периметр, объем).
ОБЪЕМ - Вычисление объема до плоскости с постоянной высотной отметкой. Отметка должна быть введена с клавиатуры или измерена.
Опр. 3D - Здесь можно задать наклонную опорную плоскость, выбрав в памяти или измерив три ее точки.
2D-площади будут вычисляться и выводиться на дисплей, как только три точки будут взяты из памяти или измерены. 3D-площади вычисляются после определения наклонной отсчетной плоскости по трем точкам.
Графическая визуализация
P0 - Точка установки инструмента
P1 - Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P2 - Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P3 - Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P4 - Точка визирования
a - Постоянная высотная отметка
b - Периметр (3D), т.е. общая длина сегментов границы полигона от начальной до текущей точки c Площадь (3D), спроектированная на наклонную отсчетную плоскость
d - Объем (3D) = a х c e Периметр (2D), т.е. общая длина сегментов границы полигона от начальной до текущей точки площади 2D
f - Площадь (2D), спроектированная на горизонтальную плоскость
g - Объем (2D) = f x a
Следующий шаг Нажмите на Рез-т для вычисления площади и объема и перехода в окно Площадь и Объем - Рез-ты.
Результаты измерений
Значения периметра и объема постоянно обновляются по мере добавления новых точек.
Следующий шаг
• Нажмите на Нов.у-д для определения нового участка,
• либо на Дп.т-ка для добавления новой точки границы текущего полигона.
• либо на ESC для выхода из программы.
 |
автор
|
Комментарии
Авторизуйтесь или зарегистрируйтесь чтобы оставить комментарий.