2 2 2
хи (ню), хи (ню), хи (ню) - квантили хи2 распределения
1-альфа 1-альфа/2 альфа/2 с ню степенями свободы
уровней 1-альфа, 1-альфа/2
и альфа/2 соответственно;
L, М - нижняя и верхняя границы интервала соответственно;
р - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в
заданный интервал [L, М];
q - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины
вне интервала [L, М ], причем q+р=1;
^ ^
p, q - точечные оценки р и q;
p , q - нижние односторонние доверительные границы для р и q;
L L
p , q - верхние односторонние доверительные границы для р и q;
M M
С - случайное событие: например, попадание случайной величины в
заданный интервал;
Prob{C} - вероятность случайного события С;
Сумма(x) - сумма выборочных значений.
5. Общие требования
5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:
- точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;
- точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;
- точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.
5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:
1) статистические и исходные данные;
2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;
3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.
5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.
5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.
5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).
Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.
Таблица 5.1 - Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения (раздел 6)
┌────────────────────────────────────┬──────────────────────────────────┐
│ Задача оценки среднего значения │ Номер таблицы │
│ ├───────────────────┬──────────────┤
│ │ D известна │ D неизвестна │
├────────────────────────────────────┼───────────────────┼──────────────┤
│Оценка среднего │ 6.1 │ 6.2 │
│ │ │ │
│Сравнение среднего значения с│ 6.3 │ 6.4 │
│заданным значением │ │ │
│ │ │ │
│Сравнение двух средних │ 6.5 │ 6.6 │
│ │ │ │
│Оценка разности двух средних │ 6.7 │ 6.8 │
└────────────────────────────────────┴───────────────────┴──────────────┘
┌────────────────────────────────────┬──────────────────────────────────┐
Таблица 5.2 - Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии (раздел 7)
┌─────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────┐
│ Задача оценки дисперсии │ Номер таблицы │
├─────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────┤
│Оценка дисперсии │ 7.1 │
│ │ │
│Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с│ 7.2 │
│заданным значением │ │
│ │ │
│Сравнение двух дисперсий или двух стандартных│ 7.3 │
│отклонений │ │
└─────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────┘
┌─────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────┐
Таблица 5.3 - Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале (раздел 8)
┌───────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ Номер таблицы │
├───────────────────────────────────┬───────────────────────────────────┤
│ D известна │ D неизвестна │
├───────────────────────────────────┼───────────────────────────────────┤
│ 8.2 │ 8.3 │
└───────────────────────────────────┴───────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
Таблица 5.4 - Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале (раздел 8)
┌──────────────────────┬────────────────────────┬───────────────────────┐
│ Заданные границы │ Искомая величина │ Номер таблицы │
│ интервала │ │ │
├──────────────────────┼────────────────────────┼───────────────────────┤
│ L │ p_L, q_M │ 8.4 │
│ │ │ │
│ М │ p_L, q_M │ 8.5 │
│ │ │ │
│ L, M │ p_L, q_M │ 8.6 │
│ │ │ │
│ L │ p_M, q_L │ 8.7 │
│ │ │ │
│ М │ p_M, q_L │ 8.8 │
│ │ │ │
│ L, M │ p_M, q_L │ 8.9 │
└──────────────────────┴────────────────────────┴───────────────────────┘
┌──────────────────────┬────────────────────────┬───────────────────────┐
5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.
6. Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности
6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.
Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│Статистические и исходные данные│ Табличные данные и вычисления │
├────────────────────────────────┼──────────────────────────────────────┤
│ 1 Объем выборки: │ 1 Квантиль стандартного нормаль-│
│ │ного закона распределения уровня (1 -│
│ n = │альфа): │
│ │ │
│ 2 Сумма значений наблюдаемых│ u = │
│величин │ 1-альфа │
│ │ │
│ Сумма(х) = │ 2 Квантиль стандартного нормального│
│ │закона распределения уровня │
│ 3 Известное значение дис-│(1-альфа/2): │
│персии: │ │
│ 2 │ u = │
│ сигма = │ 1-альфа/2 │
│ 0 │ │
│ │ 3 Вычисляем: │
│ 4 Выбранная доверительная│ │
│вероятность: │ _ 1 │
│ │ х = ─ Сумма(х) = │
│ 1 - альфа = │ n │
│ │ │
│ │ 4 Вычисляем: │
│ │ U │
│ │ 1-альфа │
│ │ К = ────────────── = │
│ │ 1 кв.корень(n) │
│ │ │
│ │ 5 Вычисляем: │
│ │ U │
│ │ 1-альфа/2 │
│ │ К = ────────────── = │
│ │ 2 кв.корень(n) │
│ │ │
├────────────────────────────────┴──────────────────────────────────────┤
│Результаты │
│ │
│1 Точечная оценка параметра мю: │
│ ^ _ │
│ мю = x = │
│ │
│2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для мю: │
│ │
│ _ _ │
│ x - K сигма <= мю <= x + K сигма , │
│ 2 0 2 0 │
│ │
│3 Односторонние доверительные интервалы для мю: │
│ │
│ _ │
│ мю <= х + K сигма или │
│ 1 0 │
│ _ │
│ мю >= x - K сигма , │
│ 1 0 │
├───────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения │
│определяют по таблице А.1 приложения A. │
└───────────────────────────────────────────────────────────────────────┘