┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
Примеры
1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки мю требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения мю(^) или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение мю. Интервал может быть:
- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать мю;
- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что мю не выше какого-то значения;
- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что мю не ниже какого-то значения.
2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром сигма(2)_0), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки мю. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.
Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│Статистические и исходные данные│ Табличные данные и вычисления │
├────────────────────────────────┼──────────────────────────────────────┤
│ 1 Объем выборки: │ 1 Квантиль распределения Стьюдента│
│ │уровня (1-альфа) с ню степенями │
│ n = │свободы: │
│ │ │
│ 2 Сумма значений наблюдаемых│ t (ню) = │
│величин │ 1-альфа │
│ │ │
│ Сумма(х) = │ 2 Квантиль распределения Стьюдента│
│ │уровня (1-альфа/2) с ню степенями │
│ 3 Сумма квадратов значений│свободы: │
│наблюдаемых величин: │ │
│ │ t (ню)= │
│ 2 │ 1-альфа/2 │
│ Сумма(х) = │ │
│ │ 3 Вычисляем: │
│ 4 Степени свободы: │ │
│ │ _ 1 │
│ ню = n-1 = │ х = ─ Сумма(х) = │
│ │ n │
│ 5 Выбранная доверительная│ │
│вероятность │ 4 Вычисляем: │
│ │ _ 2 2 2 │
│ 1 - альфа = │Сумма(х-х) Сумма(х)-(Сумма х)/n │
│ │─────────── = ───────────────────── = │
│ │ n-1 n-1 │
│ │ │
│ │ 5 Вычисляем: │
│ │ _ 2 │
│ │ Сумма(х-х) │
│ │ S = кв.корень(───────────)= │
│ │ n-1 │
│ │ │
│ │ 6 Вычисляем: │
│ │ │
│ │ t (ню) │
│ │ 1-альфа │
│ │ l = ────────────── = │
│ │ 1 кв.корень(n) │
│ │ │
│ │ 7 Вычисляем: │
│ │ │
│ │ t (ню) │
│ │ 1-альфа/2 │
│ │ l = ────────────── = │
│ │ 2 кв.корень(n) │
│ │ │
├────────────────────────────────┴──────────────────────────────────────┤
│Результаты │
│ │
│1 Точечная оценка параметра мю: │
│ ^ _ │
│ мю = x = │
│ │
│2 Точечная оценка параметра D: │
│ 2 │
│ D = S = │
│ │
│3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра мю: │
│ _ _ │
│ x - l S <= мю <= x + l S. │
│ 2 2 │
│ │
│4 Односторонние доверительные интервалы для параметра мю: │
│ _ │
│ мю <= х + l S или (1) │
│ 1 │
│ _ │
│ мю >= x - l S. (2) │
│ 1 │
├───────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1│
│приложения Б. │
└───────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
Примеры - Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.
6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.
Таблица 6.3 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при известной дисперсии
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│Статистические и исходные данные│ Табличные данные и вычисления │
├────────────────────────────────┼──────────────────────────────────────┤
│ 1 Объем выборки: │ 1 Квантиль стандартного нормаль-│
│ │ного закона распределения уровня (1 -│
│ n = │альфа): │
│ │ │
│ 2 Сумма значений наблюдаемых│ u = │
│величин: │ 1-альфа │
│ │ │
│ Сумма(х) = │ 2 Квантиль стандартного нормального│
│ │закона распределения уровня │
│ 3 Заданное значение: │(1-альфа/2): │
│ │ │
│ мю = │ u = │
│ 0 │ 1-альфа/2 │
│ │ │
│ 4 Известное значение диспер-│ 3 Вычисляем: │
│сии генеральной совокупности: │ │
│ │ _ 1 │
│ 2 │ х = ─ Сумма(х) = │
│ сигма = │ n │
│ 0 │ │
│ │ │
│ или стандартного отклонения: │ │
│ │ │
│ сигма = │ │
│ 0 │ │
│ │ │
│ 5 Выбранный уровень значимо-│ │
│сти: │ │
│ │ │
│ альфа = │ │
│ │ │
├────────────────────────────────┴──────────────────────────────────────┤
│Результаты │
│ │
│Сравнение выборочного среднего значения х с заданным значением мю : │
│ 0 │
│1 В двустороннем случае: │
│Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений │
│(нулевая гипотеза) отклоняется, если: │
│ _ │
│ |х - мю | > [u /кв.корень (n)] сигма . │
│ 0 1-альфа/2 0 │
│ │
│2 В одностороннем случае: │
│а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем мю │
│ 0 │
│(нулевая гипотеза) отклоняется, если: │
│ _ │
│ х < мю - [u /кв.корень (n)] сигма ; │
│ 0 1-альфа 0 │
│ │
│ б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем мю │
│ 0 │
│(нулевая гипотеза) отклоняется, если: │
│ _ │
│ х > мю + [u /кв.корень (n)] сигма . │
│ 0 1-альфа 0 │
├───────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения │
│определяют по таблице А.1 приложения А. │
└───────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение сигма(2)_0 известно.
Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.
6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.
Таблица 6.4 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением мю_0 при неизвестной дисперсии
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│Статистические и исходные данные│ Табличные данные и вычисления │
├────────────────────────────────┼──────────────────────────────────────┤
│ 1 Объем выборки: │ 1 Квантиль распределения Стьюдента│
│ │уровня (1-альфа) с ню степенями │
│ n = │свободы: │
│ │ │
│ 2 Сумма значений наблюдаемых│ t (ню) = │
│величин: │ 1-альфа │
│ │ │
│ Сумма(х) = │ 2 Квантиль распределения Стьюдента│
│ │уровня (1-альфа/2) с ню степенями │
│ 3 Сумма квадратов значений│свободы: │
│наблюдаемых величин: │ │
│ │ t (ню)= │
│ 2 │ 1-альфа/2 │
│ Сумма(х) = │ │
│ │ 3 Вычисляем: │
│ 4 Заданное значение: │ │
│ │ _ 1 │
│ ню = │ х = ─ Сумма(х) = │
│ │ n │
│ 5 Степени свободы: │ │
│ │ 4 Вычисляем: │
│ ню = n-1= │ _ 2 2 2 │
│ │Сумма(х-х) Сумма(х)-((Сумма х)/n) │
│ 6 Выбранный уровень значимо-│─────────── = ───────────────────── = │
│сти: │ n-1 n-1 │
│ │ │
│ альфа = │ 5 Вычисляем: │
│ │ _ 2 │
│ │ Сумма(х-х) │
│ │ S = кв.корень(───────────)= │
│ │ n-1 │
│ │ │
├────────────────────────────────┴──────────────────────────────────────┤
│Результаты │
│ _ │
│Сравнение выборочного среднего значения х с заданным значением мю : │
│ 0 │
│1 В двустороннем случае: │
│Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений │
│(нулевая гипотеза) отклоняется, если: │
│ _ │
│ |х - мю | > [t (ню)/кв.корень(n)] S. │
│ 0 1-альфа/2 │
│ │
│2 В одностороннем случае: │
│а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем мю │
│ 0 │
│(нулевая гипотеза) отклоняется, если: │
│ _ │
│ х < мю - [t (ню)/кв.корень (n)] S; │
│ 0 1-альфа │
│ │
│б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем мю │
│ 0 │
│(нулевая гипотеза) отклоняется, если: │
│ _ │
│ х > мю + [t (ню) /кв.корень (n)] S. │
│ 0 1-альфа │
├───────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1│
│приложения Б. │
└───────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
Примеры
1 То же, что в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.
2 Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.
Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.
То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т.п.
6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.
Таблица 6.5 - Сравнение двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│Статистические и исходные данные│ Табличные данные и вычисления │
├────────────────────────────────┼──────────────────────────────────────┤
│ Первая Вторая │ 1 Квантиль стандартного нормаль-│
│ выборка выборка │ного закона распределения уровня (1 -│
│ │альфа): │
│ │ │
│ │ u = │
│1 Объем n = n = │ 1-альфа │
│ выборки: 1 2 │ │
│ │ 2 Квантиль стандартного нормального│
│ │закона распределения уровня │
│2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=│(1-альфа/2): │
│ значений 1 2 │ │
│ наблюдаемых │ u = │
│ величин │ 1-альфа/2 │
│ │ │
│3 Известные 2 2 │ 3 Вычисляем: │
│ значения сигма = сигма = │ │
│ дисперсий 01 02 │ Сумма(х ) Сумма(х ) │
│ генеральных │ _ 1 _ 2 │
│ совокупно- │ х = ───────── = ; x =───────── = │
│ стей: │ 1 n 2 n │
│4 Выбранный │ 2 2 │
│ уровень альфа= │ │
│ значимости: │ 4 Вычисляем: │
│ │ 2 2 │
│ │ сигма сигма │
│ │ 01 02 │
│ │ сигма = кв.корень(─────── + ───────)=│
│ │ d n n │
│ │ 1 2 │
│ │ │
├────────────────────────────────┴──────────────────────────────────────┤
│Результаты │
│ │
│Сравнение средних значений двух совокупностей: │
│1 В двустороннем случае: │
│Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняет-│
│ся, если: │
│ │
│ _ _ │
│ |х - х | > u / сигма . │
│ 1 2 1-альфа/2 d │
│ │
│2 В одностороннем случае: │
│а) предположение о том, что первое среднее не менее второго (нулевая│
│гипотеза) отклоняется, если: │
│ │
│ _ _ │
│ х < х - u сигма ; │
│ 1 2 1-альфа d │
│ │
│ б) предположение о том, что первое среднее не более второго (нулевая│
│ гипотеза) отклоняется, если: │
│ │
│ _ _ │
│ х > х + u сигма . │
│ 1 2 1-альфа d │
│ │
├───────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения │
│определяют по таблице А.1 приложения А. │
└───────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
Примеры
1 Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т.е. известны параметры сигма_01 и сигма_02. Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.
2 Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержания кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т.е. дисперсии) для каждого из двух заводов.
6.6 Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.
Таблица 6.6 - Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│Статистические и исходные данные│ Табличные данные и вычисления │
├────────────────────────────────┼──────────────────────────────────────┤
│ Первая Вторая │ 1 Квантиль распределения Стьюдента│
│ выборка выборка │уровня (1-альфа) с ню степенями │
│ │свободы: │
│ │ │
│ │ t (ню) = │
│1 Объем n = n = │ 1-альфа │
│ выборки: 1 2 │ │
│ │ 2 Квантиль распределения Стьюдента│
│ │уровня (1-альфа/2) с ню степенями│
│2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=│свободы: │
│ значений 1 2 │ │
│ наблюдаемых │ t (ню)= │
│ величин: │ 1-альфа/2 │
│ 2 2 │ │
│3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=│ 3 Вычисляем: │
│ квадратов 1 2 │ │
│ значений │ Сумма(х ) Сумма(х ) │
│ наблюдаемых │ _ 1 _ 2 │
│ величин: │ х = ───────── = ; x =───────── = │
│ │ 1 n 2 n │
│4 Степени ню = n + n - 2 = │ 1 2 │
│ свободы: 1 2 │ │
│ │ 4 Вычисляем: │
│ │ │
│5 Выбранный │ _ 2 _ 2 │
│ уровень альфа= │Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) = │
│ значимости: │ 1 1 2 2 │
│ │ │
│ │ 2 2 1 │
│ │= Сумма(х ) + Сумма(х )- ─── x │
│ │ 1 2 n │
│ │ 1 │
│ │ │
│ │ │
│ │ 2 1 2 │
│ │x (Сумма(х )) - ───(Сумма(х )) = │
│ │ 1 n 2 │
│ │ 2 │
│ │ │
│ │ 5 Вычисляем: │
│ │ │
│ │ (n + n ) │
│ │ 1 2 │
│ │ S = кв.корень(──────── x │
│ │ d n n │
│ │ 1 2 │
│ │ │
│ │ _ 2 _ 2 │
│ │ Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) │
│ │ 1 1 2 2 │
│ │х ────────────────────────────────) = │
│ │ n + n - 2 │
│ │ 1 2 │
│ │ │
├────────────────────────────────┴──────────────────────────────────────┤
│Результаты │
│ │
│Сравнение средних значений двух совокупностей: │
│1 В двустороннем случае: │
│а) предположение о том, что средние мю и мю совпадают (нулевая│
│ 1 2 │
│гипотеза) отклоняется, если: │
│ _ _ │
│ |х - х | > t (ню) S . │
│ 1 2 1-альфа/2 d │
│ │
│2 В одностороннем случае: │
│а) предположение о том, что мю >= мю (нулевая гипотеза) отклоняется,│
│ 1 2 │
│если: │
│ _ _ │
│ х < х - t (ню) S ; │
│ 1 2 1-альфа d │
│ │
│ б) предположение о том, что мю <= мю (нулевая гипотеза) отклоняется,│
│ 1 2 │
│если: │
│ _ _ │
│ х > х + t (ню) S . │
│ 1 2 1-альфа d │
│ │
│ │
├───────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1│
│приложения Б. │
└───────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
Примечание - Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.
Примеры:
1 Примеры те же, что для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем применение задач по 6.5, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.
2 Пример 2 по 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.
6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.
Таблица 6.7 - Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│Статистические и исходные данные│ Табличные данные и вычисления │
├────────────────────────────────┼──────────────────────────────────────┤
│ Первая Вторая │ 1 Квантиль стандартного нормаль-│
│ выборка выборка │ного закона распределения уровня (1 -│
│ │альфа): │
│ │ │
│ │ u = │
│1 Объем n = n = │ 1-альфа │
│ выборки: 1 2 │ │
│ │ 2 Квантиль стандартного нормального│
│ │закона распределения уровня │
│2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=│(1-альфа/2): │
│ значений 1 2 │ │
│ наблюдаемых │ u = │
│ величин: │ 1-альфа/2 │
│ │ │
│3 Известное 2 2 │ 3 Вычисляем: │
│ значение сигма = сигма = │ │
│ дисперсий 01 02 │ Сумма(х ) Сумма(х ) │
│ генеральной │ _ 1 _ 2 │
│ совокупно- │ х = ───────── = ; x =───────── = │
│ сти: │ 1 n 2 n │
│ │ 1 2 │
│4 Выбранный │ │
│ уровень альфа= , │ 4 Вычисляем: │
│ значимости │ 2 2 │
│ │ сигма сигма │
│ │ 01 02 │
│ тогда доверительная │ сигма = кв.корень(─────── + ───────)=│
│ вероятность равна │ d n n │
│ 1-альфа= │ 1 2 │
│ │ │
├────────────────────────────────┴──────────────────────────────────────┤
│Результаты │
│1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров мю и│
│ 1 │
│мю для двух совокупностей: │
│ 2 │
│ ^ _ _ │
│ (мю - мю ) = х - х . │
│ 1 2 1 2 │
│ │
│2 Односторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ): │
│ 1 2 │
│ _ _ │
│ (мю - мю ) < (x - x ) + u сигма или │
│ 1 2 1 2 1-альфа d │
│ │
│ _ _ │
│ (мю - мю ) > (x - x ) - u сигма . │
│ 1 2 1 2 1-альфа d │
│ │
│ 3 Двусторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ): │
│ 1 2 │
│ _ _ _ _ │
│ (х - х ) - u сигма < (мю - мю ) < (x - x ) + u х │
│ 1 2 1-альфа/2 d 1 2 1 2 1-альфа/2 │
│ │
│x сигма . │
│ d │
│ │
│ 4 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) │
│отклоняется, если: │
│ _ _ │
│ |x - x | > u сигма . │
│ 1 2 1-альфа/2 d │
├───────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения │
│определяют по таблице А.1 приложения А. │
└───────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
┌────────────────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.
Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т.п.
6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.