лежащей левее точки u.
А.2 В первой колонке таблицы А.1 приведены значения аргумента u от 0,00 до 0,49, обозначенные буквой z. Во второй колонке приведены значения функции Ф (u) для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции Ф (u) для значений аргумента u от 0,5 и выше. При этом значение аргумента u находят как сумму z и значений: 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0.
Пример - Для u = 1,86 = (1,5 + 0,36) находим Ф (1,86) = 0,96856.
А.3 Значения функции Ф(u) для отрицательных значений аргумента u рассчитывают по формуле:
Ф(-u) = 1 - Ф(u). (А.3)
А.4 Значение квантили u_альфа уровня альфа находят как значение аргумента u, соответствующего значению функции Ф(u)=альфа.
Пример - Значению альфа=0,99 соответствует ближайшее табличное значение Ф=0,99010. По таблице А.1 для этого значения функции находят значение аргумента u:
u = 2,0 + 0,33 = 2,33
Таблица А.1 - Значения функции стандартного нормального закона распределения
┌───────┬────────┬─────────┬────────┬────────┬────────┬────────┬────────┐
│ z │ Ф(z) │Ф(0,5+z) │Ф(1,0+z)│Ф(1,5+z)│Ф(2,0+z)│Ф(2,5+z)│Ф(3,0+z)│
├───────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼────────┼────────┼────────┤
│ 0,00 │0,50000 │ 0,69146 │0,84134 │0,93319 │0,97725 │0,99379 │0,99865 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,01 │0,50399 │ 0,69497 │0,84375 │0,93448 │0,97778 │0,99396 │0,99869 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,02 │0,50798 │ 0,69847 │0,84614 │0,93574 │0,97831 │0,99413 │0,99874 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,03 │0,51197 │ 0,70194 │0,84850 │0,93699 │0,97882 │0,99430 │0,99878 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,04 │0,51595 │ 0,70540 │0,85083 │0,93822 │0,97932 │0,99446 │0,99882 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,05 │0,51994 │ 0,70884 │0,85314 │0,93943 │0,97982 │0,99461 │0,99886 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,06 │0,52392 │ 0,71226 │0,85543 │0,94062 │0,98030 │0,99477 │0,99889 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,07 │0,52790 │ 0,71566 │0,85769 │0,94179 │0,98077 │0,99492 │0,99893 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,08 │0,53188 │ 0,71904 │0,85993 │0,94295 │0,98124 │0,99506 │0,99896 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,09 │0,53586 │ 0,72240 │0,86214 │0,94408 │0,98169 │0,99520 │0,99900 │
├───────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼────────┼────────┼────────┤
│ 0,10 │0,53983 │ 0,72575 │0,86433 │0,94520 │0,98214 │0,99534 │0,99903 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,11 │0,54380 │ 0,72907 │0,86650 │0,94630 │0,98257 │0,99547 │0,99906 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,12 │0,54776 │ 0,73237 │0,86864 │0,94738 │0,98300 │0,99560 │0,99910 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,13 │0,55172 │ 0,73565 │0,87076 │0,94845 │0,98341 │0,99573 │0,99913 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,14 │0,55567 │ 0,73891 │0,87286 │0,94950 │0,98382 │0,99585 │0,99916 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,15 │0,55962 │ 0,74215 │0,87493 │0,95053 │0,98422 │0,99598 │0,99918 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,16 │0,56356 │ 0,74537 │0,87698 │0,95154 │0,98461 │0,99609 │0,99921 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,17 │0,56750 │ 0,74857 │0,87900 │0,95254 │0,98500 │0,99621 │0,99924 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,18 │0,57142 │ 0,75175 │0,88100 │0,95352 │0,98537 │0,99632 │0,99926 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,19 │0,57535 │ 0,75490 │0,88298 │0,95449 │0,98574 │0,99643 │0,99929 │
├───────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼────────┼────────┼────────┤
│ 0,20 │0,57926 │ 0,75804 │0,88493 │0,95543 │0,98610 │0,99653 │0,99931 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,21 │0,58317 │ 0,76115 │0,88686 │0,95637 │0,98645 │0,99664 │0,99934 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,22 │0,58706 │ 0,76424 │0,88877 │0,95728 │0,98679 │0,99674 │0,99936 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,23 │0,59095 │ 0,76731 │0,89065 │0,95818 │0,98713 │0,99683 │0,99938 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,24 │0,59483 │ 0,77035 │0,89251 │0,95907 │0,98745 │0,99693 │0,99940 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,25 │0,59871 │ 0,77337 │0,89435 │0,95994 │0,98778 │0,99702 │0,99942 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,26 │0,60257 │ 0,77637 │0,89617 │0,96080 │0,98809 │0,99711 │0,99944 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,27 │0,60642 │ 0,77935 │0,89796 │0,96164 │0,98840 │0,99720 │0,99946 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,28 │0,61026 │ 0,78230 │0,89973 │0,96246 │0,98870 │0,99728 │0,99948 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,29 │0,61409 │ 0,78524 │0,90147 │0,96327 │0,98899 │0,99736 │0,99950 │
├───────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼────────┼────────┼────────┤
│ 0,30 │0,61791 │ 0,78814 │0,90320 │0,96407 │0,98928 │0,99744 │0,99952 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,31 │0,62172 │ 0,79103 │0,90490 │0,96485 │0,98956 │0,99752 │0,99953 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,32 │0,62552 │ 0,79389 │0,90658 │0,96562 │0,98983 │0,99760 │0,99955 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,33 │0,62930 │ 0,79673 │0,90824 │0,96638 │0,99010 │0,99767 │0,99957 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,34 │0,63307 │ 0,79955 │0,90988 │0,96712 │0,99036 │0,99774 │0,99958 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,35 │0,63683 │ 0,80234 │0,91149 │0,96784 │0,99061 │0,99781 │0,99960 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,36 │0,64058 │ 0,80511 │0,91308 │0,96856 │0,99086 │0,99788 │0,99961 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,37 │0,64431 │ 0,80785 │0,91466 │0,96926 │0,99111 │0,99795 │0,99962 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,38 │0,64803 │ 0,81057 │0,91621 │0,96995 │0,99134 │0,99801 │0,99964 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,39 │0,65173 │ 0,81327 │0,91774 │0,97062 │0,99158 │0,99807 │0,99965 │
├───────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼────────┼────────┼────────┤
│ 0,40 │0,65542 │ 0,81594 │0,91924 │0,97128 │0,99180 │0,99813 │0,99966 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,41 │0,65910 │ 0,81859 │0,92073 │0,97193 │0,99202 │0,99819 │0,99968 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,42 │0,66276 │ 0,82121 │0,92220 │0,97257 │0,99224 │0,99825 │0,99969 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,43 │0,66640 │ 0,82381 │0,92364 │0,97320 │0,99245 │0,99831 │0,99970 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,44 │0,67003 │ 0,82639 │0,92507 │0,97381 │0,99266 │0,99836 │0,99971 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,45 │0,67364 │ 0,82894 │0,92647 │0,97441 │0,99286 │0,99841 │0,99972 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,46 │0,67724 │ 0,83147 │0,92785 │0,97500 │0,99305 │0,99846 │0,99973 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,47 │0,68082 │ 0,83398 │0,92922 │0,97558 │0,99324 │0,99851 │0,99974 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,48 │0,68439 │ 0,83646 │0,93056 │0,97615 │0,99343 │0,99856 │0,99975 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 0,49 │0,68793 │ 0,83891 │0,93189 │0,97670 │0,99361 │0,99861 │0,99976 │
├───────┴────────┴─────────┴────────┴────────┴────────┴────────┴────────┤
│Примечание - z - значение аргумента u от 0,00 до 0,49. Значение│
│аргумента u от 0,50 и выше находят как сумму z и значений 0,5; 1,0; 1,5│
│и т.д. (см. обозначения граф таблицы). │
└───────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
┌───────┬────────┬─────────┬────────┬────────┬────────┬────────┬────────┐
Приложение Б
(справочное)
Таблица значений квантилей распределения Стьюдента
Б.1 В таблице Б.1 приведены значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню) уровня альфа с ню степенями свободы.
Пример - Для ню =9 квантиль уровня aльфа = 0,99 имеет значение 2,821.
Б.2 Квантили уровня альфа=0,5 при любом ню равны нулю.
Б.3 Квантили уровня альфа<0,5 находят по формуле
t (ню) = - t (ню).
альфа 1-альфа
Б.4 Для промежуточных значений альфа, лежащих между двумя соседними табличными значениями альфа_1 и альфа_2:
альфа < альфа < альфа
1 2
значение квантиля t_альфа (ню) может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
t - t
альфа2 альфа1
t = (альфа - альфа ) [────────────────] + t .
альфа 1 альфа - альфа альфа1
2 1
Пример - Для ню=9 требуется найти квантиль уровня aльфа=0,992. Полагаем, что альфа_1=0,99, альфа_2=0,995; находим по таблице Б.1 t_0,99=2,821, t_0,995=3,250 и вычисляем для степеней свободы ню=9.
3,250 - 2,821
t = (0,992 - 0,99)[──────────────] + 2,821 = 2,9926.
0,992 0,995 - 0,99
Таблица Б.1 - Значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню)
┌────┬──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ ню │ Значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню) с ню степенями свободы для уровня альфа │
│ ├───────┬───────┬──────┬───────┬───────┬──────┬───────┬──────┬───────┬────────┬───────┬───────┬────────┤
│ │ 0,55 │ 0,6 │ 0,65 │ 0,7 │ 0,75 │ 0,8 │ 0,85 │ 0,9 │ 0,95 │ 0,975 │ 0,99 │ 0,995 │ 0,9995 │
├────┼───────┼───────┼──────┼───────┼───────┼──────┼───────┼──────┼───────┼────────┼───────┼───────┼────────┤
│ 1 │ 0,158 │ 0,325 │0,510 │ 0,727 │ 1,000 │1,376 │ 1,963 │3,078 │ 6,314 │ 12,706 │31,821 │63,657 │636,619 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 2 │ 0,142 │ 0,289 │0,445 │ 0,617 │ 0,816 │1,061 │ 1,386 │1,886 │ 2,920 │ 4,303 │ 6,965 │ 9,925 │ 31,598 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 3 │ 0,137 │ 0,277 │0,424 │ 0,584 │ 0,765 │0,978 │ 1,250 │1,638 │ 2,353 │ 3,182 │ 4,541 │ 5,841 │ 12,924 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 4 │ 0,134 │ 0,271 │0,414 │ 0,569 │ 0,741 │0,941 │ 1,190 │1,533 │ 2,132 │ 2,776 │ 3,747 │ 4,604 │ 8,610 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 5 │ 0,132 │ 0,267 │0,408 │ 0,559 │ 0,727 │0,920 │ 1,156 │1,476 │ 2,015 │ 2,571 │ 3,365 │ 4,032 │ 6,869 │
├────┼───────┼───────┼──────┼───────┼───────┼──────┼───────┼──────┼───────┼────────┼───────┼───────┼────────┤
│ 6 │ 0,131 │ 0,265 │0,404 │ 0,543 │ 0,718 │0,906 │ 1,134 │1,440 │ 1,943 │ 2,447 │ 3,143 │ 3,707 │ 5,959 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 7 │ 0,130 │ 0,263 │0,402 │ 0,549 │ 0,711 │0,896 │ 1,119 │1,415 │ 1,895 │ 2,365 │ 2,998 │ 3,499 │ 5,408 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 8 │ 0,130 │ 0,262 │0,399 │ 0,546 │ 0,706 │0,889 │ 1,108 │1,397 │ 1,860 │ 2,306 │ 2,896 │ 3,355 │ 5,041 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 9 │ 0,129 │ 0,261 │0,398 │ 0,543 │ 0,703 │0,883 │ 1,100 │1,383 │ 1,833 │ 2,262 │ 2,821 │ 3,250 │ 4,781 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 10 │ 0,129 │ 0,260 │0,397 │ 0,542 │ 0,700 │0,879 │ 1,093 │1,372 │ 1,812 │ 2,228 │ 2,764 │ 3,169 │ 4,587 │
├────┼───────┼───────┼──────┼───────┼───────┼──────┼───────┼──────┼───────┼────────┼───────┼───────┼────────┤
│ 11 │ 0,129 │ 0,260 │0,396 │ 0,540 │ 0,697 │0,876 │ 1,088 │1,363 │ 1,796 │ 2,201 │ 2,718 │ 3,106 │ 4,437 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 12 │ 0,128 │ 0,259 │0,395 │ 0,539 │ 0,695 │0,873 │ 1,083 │1,356 │ 1,782 │ 2,179 │ 2,681 │ 3,055 │ 4,318 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 13 │ 0,128 │ 0,259 │0,394 │ 0,538 │ 0,694 │0,870 │ 1,079 │1,350 │ 1,771 │ 2,160 │ 2,650 │ 3,012 │ 4,221 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 14 │ 0,128 │ 0,258 │0,393 │ 0,537 │ 0,692 │0,868 │ 1,076 │1,345 │ 1,761 │ 2,145 │ 2,624 │ 2,977 │ 4,140 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 15 │ 0,128 │ 0,258 │0,393 │ 0,536 │ 0,691 │0,866 │ 1,074 │1,341 │ 1,753 │ 2,131 │ 2,602 │ 2,947 │ 4,173 │
├────┼───────┼───────┼──────┼───────┼───────┼──────┼───────┼──────┼───────┼────────┼───────┼───────┼────────┤
│ 16 │ 0,128 │ 0,258 │0,392 │ 0,535 │ 0,690 │0,865 │ 1,071 │1,337 │ 1,746 │ 2,120 │ 2,583 │ 2,921 │ 4,015 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 17 │ 0,128 │ 0,257 │0,392 │ 0,534 │ 0,689 │0,863 │ 1,069 │1,333 │ 1,740 │ 2,110 │ 2,567 │ 2,898 │ 3,965 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 18 │ 0,128 │ 0,257 │0,392 │ 0,534 │ 0,688 │0,862 │ 1,067 │1,330 │ 1,734 │ 2,101 │ 2,552 │ 2,878 │ 3,922 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 19 │ 0,127 │ 0,257 │0,391 │ 0,533 │ 0,688 │0,861 │ 1,066 │1,328 │ 1,729 │ 2,093 │ 2,539 │ 2,861 │ 3,883 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 20 │ 0,127 │ 0,257 │0,391 │ 0,533 │ 0,687 │0,860 │ 1,064 │1,325 │ 1,725 │ 2,086 │ 2,528 │ 2,845 │ 3,850 │
├────┼───────┼───────┼──────┼───────┼───────┼──────┼───────┼──────┼───────┼────────┼───────┼───────┼────────┤
│ 21 │ 0,127 │ 0,257 │0,391 │ 0,532 │ 0,686 │0,859 │ 1,063 │1,323 │ 1,721 │ 2,080 │ 2,518 │ 2,831 │ 3,819 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 22 │ 0,127 │ 0,256 │0,390 │ 0,532 │ 0,686 │0,858 │ 1,061 │1,321 │ 1,717 │ 2,074 │ 2,508 │ 2,819 │ 3,792 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 23 │ 0,127 │ 0,256 │0,390 │ 0,532 │ 0,685 │0,858 │ 1,060 │1,319 │ 1,714 │ 2,069 │ 2,500 │ 2,807 │ 3,767 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 24 │ 0,127 │ 0,256 │0,390 │ 0,531 │ 0,685 │0.857 │ 1,059 │1,318 │ 1,711 │ 2,064 │ 2,492 │ 2,797 │ 3,745 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 25 │ 0,127 │ 0,256 │0,390 │ 0,531 │ 0,684 │0,856 │ 1,058 │1,316 │ 1,708 │ 2,060 │ 2,485 │ 2,787 │ 3,725 │
├────┼───────┼───────┼──────┼───────┼───────┼──────┼───────┼──────┼───────┼────────┼───────┼───────┼────────┤
│ 26 │ 0,127 │ 0,256 │0,390 │ 0,531 │ 0,684 │0,856 │ 1,058 │1,315 │ 1,706 │ 2,056 │ 2,479 │ 2,779 │ 3,707 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 27 │ 0,127 │ 0,256 │0,389 │ 0,531 │ 0,684 │0,855 │ 1,057 │1,314 │ 1,703 │ 2,052 │ 2473 │ 2,771 │ 3,690 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 28 │ 0,127 │ 0,256 │0,389 │ 0,530 │ 0,683 │0,855 │ 1,056 │1,313 │ 1,701 │ 2,048 │ 2,467 │ 2,763 │ 3,674 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 29 │ 0,127 │ 0,256 │0,389 │ 0,530 │ 0,683 │0,854 │ 1,055 │1,311 │ 1,699 │ 2,045 │ 2,462 │ 2,756 │ 3,659 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 30 │ 0,127 │ 0,256 │0,389 │ 0,530 │ 0,683 │0,854 │ 1,055 │1,310 │ 1,697 │ 2,042 │ 2,457 │ 2,750 │ 3,646 │
├────┼───────┼───────┼──────┼───────┼───────┼──────┼───────┼──────┼───────┼────────┼───────┼───────┼────────┤
│ 40 │ 0,126 │ 0,255 │0,388 │ 0,529 │ 0,681 │0,851 │ 0,050 │1,303 │ 1,684 │ 2,021 │ 2,423 │ 2,704 │ 3,551 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ 60 │ 0,126 │ 0,254 │0,387 │ 0,527 │ 0,679 │0,848 │ 0,046 │1,296 │ 1,671 │ 2,000 │ 2,390 │ 2,660 │ 3,460 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│120 │ 0,126 │ 0,254 │0,386 │ 0,526 │ 0,677 │0,845 │ 0,041 │1,289 │ 1,658 │ 1,980 │ 2,358 │ 2,617 │ 3,373 │
│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│бес-│ 0,126 │ 0,253 │0,385 │ 0,524 │ 0,674 │0,842 │ 0,036 │1,282 │ 1.645 │ 1,960 │ 2,326 │ 2,576 │ 3,291 │
│ко- │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│неч-│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ност│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
│ ь │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │
└────┴───────┴───────┴──────┴───────┴───────┴──────┴───────┴──────┴───────┴────────┴───────┴───────┴────────┘
┌────┬──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
Приложение В
(справочное)
Таблица значений квантилей хи(2)_альфа распределения
В.1 В таблице В.1 приведены значения квантилей хи(2)_альфа(ню), т.е. квантилей хи(2) распределения уровня альфа с ню степенями свободы.
Пример - Для ню=9 и альфа=0,98 квантиль хи(2)_0,98=19,679.
В.2 Для промежуточных значений альфа, лежащих между двумя соседними табличными значениями альфа_1 и альфа_2:
альфа < альфа < альфа
1 2
значение квантиля хи(2)_альфа может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
2 2
хи - хи
2 альфа2 альфа1 2
хи = (альфа - альфа )[────────────────────] + хи .
альфа 1 альфа - альфа альфа1