Тахеометрический ход

Тахеометрический ход или Теодолитно-высотный ход — это геодезический, планово-высотный ход, представляющий собой замкнутый или разомкнутый многоугольник в котором измерены горизонтальные, вертикальные углы и длины всех сторон
По измеренным сторонам и углам определяют прямоугольные координаты вершин теодолитного или тахеометрического хода, а по измеренным вертикальным углам и длинам сторон — превышения между точками тахеометрического хода, т. е. теодолитным ходом определяют плановое положение вершин хода, а тахеометрическим ходом — плановое и высотное их положение. На рисунке 1 изображена часть теодолитного хода. Для точки 1 координаты


Рис. 1  Схема разомкнутого теодолитного хода.
Формулы (1) решают прямую геодезическую задачу на плоскости, в которой при известных прямоугольных координатах хH,уH, горизонтальном проложении d и дирекционном угле а требуется определить координаты х1, у1, точки 1.
В обратной задаче по известным координатам х1,у1; х2,у2, точек 1 и 2 (рис. 2) требуется определить дирекционный угол α и горизонтальное проложение d.


Рис.2  Решение обратной задачи на плоскости
На рисунке 2 из прямоугольного треугольника(1)
откуда находят дирекционный угол  α. Горизонтальное проложение d. (2)
Измерив горизонтальный угол β0 между исходной и определяемой сторонами, на pисунке 1 имеем
 (3)
если измерены левые по направлению теодолитного хода углы.
Если измерены правые углы β'0' β'1  и т.д., то, учитывая β0 = 360° - β'0, вместо формулы (3) находим
  (4)
Следовательно, для определения координат точек теодолитного хода необходимо начинать ход с опорной точки, имеющей координаты хH,уH, и в этой начальной опорной точке измерить примычный угол β0 и β'0 между линией с известным дирекционным углом и линией d1 хода.
Определение координат точек тахеометрического хода

Разомкнутый тахеометрический ход должен начинаться и заканчиваться на опорных точках H и К с известными координатами, и на этих точках должны быть измерены примычные углы β0 и βn между опорными линиями с известными дирекционными углами и первой и последней линиями хода. Только в этом случае имеется возможность не только определить координаты всех точек тахеометрического хода, но и проконтролировать правильность измерения углов и сторон хода и оценить точность выполненной работы. Если разомкнутый тахеометрический ход имеет исходные данные только с одной стороны (в начале или конце хода), то его называют висячим тахеометрический ходом.

Для контроля целесообразно в начальной и конечной опорных точках измерять не по одному, а по два примычных угла, т. е. независимо дважды определять дирекционный угол сторон HI от опорной линии АН и опорной линии СН, а в конечной опорной точке определять дирекционные углы опорных линий KB и КД и сравнивать полученные и известные их значения.
В замкнутом теодолитном ходе (рис. 3) обычно измеряют внутренние углы полигона (β1,...,βi,) и примычные углы β'0,β"0" . Необходимость привязки замкнутого хода к двум твердым линиям связана с тем, что при ошибочном опознавании, например пункта А, дирекционный угол линии АН не будет соответствовать его действительному значению и весь полигон будет неправильно ориентирован относительно принятой системы координат. Поэтому для исключения такой ошибки необходимо делать привязку хода как минимум к двум опорным линиям.

Рис. 3. Схема замкнутого и диагонального теодолитных ходов.
Внутри замкнутого хода можно проложить диагональный ход, опирающийся на вершины основного хода (на рис. 3 ход 6-8-9-2).
В разомкнутом (рис. 1) и замкнутом (рис. 3) теодолитных ходах кроме необходимых для определения координат точек хода измерений выполнены избыточные измерения: в разомкнутом ходе избыточными являются примычные углы βn, β'n ; угол βn-1 и сторона dn, а в замкнутом — углы β6, β7 и d7, что позволяет выполнить уравнивание и оценку точности этих ходов.
Известно, что каждое избыточное измерение приводит к условному уравнению, в рассматриваемом случае имеем три избыточных измерения, которые дают одно условное уравнение фигуры и условные уравнения абсцисс и ординат.
В теодолитном ходе угловая невязка (свободный член условия фигур)
(6)
где  - сумма измеренных в теодолитном ходе углов, а   -  их теоретическая сумма. В замкнутом теодолитном ходе с n измеренными углами, как известно из геометрии
(7)
следовательно, в замкнутом теодолитном ходе
(8)
В разомкнутом теодолитном ходе теоретическая сумма углов зависит от расположения исходных сторон, и поэтому целесообразно разомкнутый ход превратить в замкнутый путем продолжения опорных линий до их пересечения и использовать его для определения 
На рисунке 1 для измеренных левых углов имеем
(9)
В полученном замкнутом полигоне сумма углов
(10)
где n — число измеренных углов. Из этого выражения находим
(11)
т. е. в рассматриваемом случае, учитывая
(12)
Получаем
  (13)
На рисунке 4
(14)
 
Рис. 4 Схема разомкнутого теодолитного хода

В полигоне
(15)
Учитывая     βn+1= 360° - (ак-ан), находим
(16)
Если ошибки угловых измерений носят случайный характер и значения mβ1 ≈ mβi ≈ mβ то, используя формулу (8) и формулу средней квадратической ошибки функции, имеем
(17)
де к — коэффициент перехода от средней квадратической ошибки к предельной. При к = 2, mβ = 30"
(18)
Если фактическая ƒβ, вычисленная по формулам (8)—(10), по модулю меньше доп.ƒβ, то ее распределяют с обратным знаком поровну на все измеренные углы, т. е. поправка
 (19)
Если невязка ƒβ не делится без остатка на число n, то несколько большие поправки вводят в углы с короткими сторонами. В итоге сумма поправок, лолжна оавняться угловой невязке ƒβ с обратным знаком, т.е.
(20)
После введения в углы βi поправок vβi получают исправленные углы, которые используют при вычислении дирекционных углов по формуле (5) для левых и по формуле (6) для правых измеренных углов. При этом дирекционный угол конечной опорной линии, вычисленный по теодолитному ходу, и его истинное значение должны совпадать. В замкнутом ходе дирекционные углы опорных линий НА и НВ (рис. 3) после вычисления теодолитного хода также должны совпадать с их известными значениями. После определения дирекционных углов вычислют приращения координат
(21)
Вследствие ошибок при измерении углов и сторон   не совпадают с их теоретическими значениями    т.е. невязки по осям координат
(22)

Для определения  
(23)

Имеем
(24)
Сложив левые и правые части полученных выражений, находим
(25)
Откуда
(26)
С учётом полученных значений
(27)

В замкнутом теодолитном ходе начальная и конечная точки совпадают, поэтому хn = xн, уn = yн, а вместо формулы (27) Имеем
(28)

Вследствии невязок ƒх, ƒy положение конечной опорной точки, полученной по теодолитному ходу, не будет совпадать с положениеми опорной точки, величина этого несовпадения, называемая невязкой в периметре хода,
(29)
Отношение ƒs к периметру хода  , т. е. называют относительной невязкой в периметре хода, она характеризует качество полевых работ и не должна превышать установленной величины.
(30)
При измерении длин сторон лентой или дальномерными насадками ДНТ, ДАР-100 щШ ДД-3 при неблагоприятных условиях
(31)
При благоприятных условиях измерений относительная невязка может быть 1:2000 и даже 1:3000.
В тахеометрическом ходе при измерении сторон нитяным дальномером
(32)
Если относительная ошибка допустима, то в приращения координат вводят поправки
(33)
Суммы поправок должны быть равны соответствующим невязкам по осям с обратным знаком, т. е.
(34)
Исправленные значения приращений координат используют для определения координат точек хода по формулам
 (35)
В результате хn, уn в разомкнутом и хn = x, yn = yн  в замкнутом  и ходах должны совпадать с их известными для опорных точек значениями.
Пример вычисления координат пунктов разомкнутого теодолитного хода приведен в таблице 1. Схема хода изображена на рисунке 5

Рис. 5. Схема теодолитного хода
 Таблица 1.

Вычисление отметок точек тахеометрического хода
Если расстояния D в тахеометрическом ходе измеряли нитяным дальномером, то по полученным углам наклона v и расстояниям D вычисляют превышения

де i — высота прибора; l — высота визирной цепи; ƒ — поправка за кривизну Земли и рефракцию. Из прямых hпp. и ho6p. превышений определяют среднее значение, если расхождение между hnp. не превышает 4 см на каждые 100 м расстояния между точками. Пример вычисления отметок точек тахеометрического хода приведен в таблице 1.
 Таблица 2.

Высотная невязка

В разомкнутом ходе

где Нк, Нн — высоты конечного и начального опорных пунктов хода. С учетом этого
 
в замкнутом ходе Нк = Нн и

Допустимая величина невязки (в метрах) согласно

где Рм  = ΤΣD— длина тахеометрического хода в м, n — число превышений в ходе.
Поправки
Сумма поправок должна быть равна невязке с обратным знаком. Исправленные превышения используют для определения отметок

В замкнутом ходе Нк = Нн. В результате вычислений в разомкнутом ходе должна быть получена отметка Нк конечной опорной точки, а в замкнутом отметка Нн начальной опорной точки.