Калькулятор прямой геодезической задачи онлайн
Координаты вводятся в метрах, в одной плоской системе: МСК, СК-42, СК-63 или местной. Дирекционный угол — от 0° до 360°, длина линии — горизонтальное проложение в метрах.
Формулы прямой геодезической задачи
Дано: точка A (XA; YA), дирекционный угол линии αAB и её горизонтальное проложение SAB. Найти: координаты точки B (XB; YB).
В геодезии ось X направлена на север, ось Y — на восток. Поэтому косинус угла даёт приращение по X, а синус — по Y, а не наоборот, как в школьной математике.
- Приращения координат: ΔX = S · cos α; ΔY = S · sin α.
- Координаты точки B: XB = XA + ΔX; YB = YA + ΔY.
Приращения — это проекции отрезка AB на оси координат. Длина S всегда положительна, поэтому знаки ΔX и ΔY определяются знаками косинуса и синуса, то есть четвертью, в которую направлена линия.
Знаки приращений по четвертям
Если вместо дирекционного угла известен румб r, приращения считают по модулю: |ΔX| = S · cos r, |ΔY| = S · sin r. Знаки берут по названию румба из таблицы.
| Дирекционный угол α | Четверть, румб | ΔX | ΔY |
|---|---|---|---|
| 0°–90° | I, СВ | + | + |
| 90°–180° | II, ЮВ | − | + |
| 180°–270° | III, ЮЗ | − | − |
| 270°–360° | IV, СЗ | + | − |
Пример решения
Дано: A (1000,00; 2000,00), αAB = 321°20′25″, SAB = 320,16 м.
- Переводим угол в градусы: 321 + 20/60 + 25/3600 = 321,3403°.
- cos α = 0,78087; sin α = −0,62470. Угол в IV четверти: ΔX положительно, ΔY отрицательно — совпадает с таблицей.
- ΔX = 320,16 · 0,78087 = +250,00 м; ΔY = 320,16 · (−0,62470) = −200,00 м.
- XB = 1000,00 + 250,00 = 1250,00 м; YB = 2000,00 − 200,00 = 1800,00 м.
Проверка: решите для точек A и B обратную геодезическую задачу. Она должна вернуть тот же угол 321°20′25″ и ту же длину 320,16 м.
Как решить ПГЗ в Excel
Пусть XA в ячейке A1, YA — в B1, дирекционный угол в десятичных градусах — в C1, длина — в D1.
- XB:
=A1+D1*COS(РАДИАНЫ(C1)) - YB:
=B1+D1*SIN(РАДИАНЫ(C1)) - Перевод угла из градусов, минут и секунд (в ячейках E1, F1, G1):
=E1+F1/60+G1/3600
Excel считает тригонометрию в радианах, поэтому без функции РАДИАНЫ результат будет неверным.
Прямая задача в теодолитном ходе
Чаще всего ПГЗ решают при обработке теодолитного хода: координаты каждой следующей точки равны координатам предыдущей плюс приращения. Дирекционный угол следующей стороны получают из предыдущего и измеренного угла поворота: при правых по ходу углах αn+1 = αn + 180° − β. Если результат больше 360°, вычитают 360°, если меньше 0° — прибавляют.
В замкнутом ходе сумма всех приращений по X и по Y теоретически равна нулю. Фактическая сумма — это невязка, по ней оценивают точность хода.
Чем прямая задача отличается от обратной
В прямой задаче по точке, углу и расстоянию находят координаты второй точки. В обратной — наоборот: по координатам двух точек находят угол и расстояние. Прямую задачу решают при вычислении координат точек хода, при выносе проектных точек и при восстановлении поворотных точек границы по углу и длине.
Частые вопросы
Что такое ПГЗ в геодезии?
ПГЗ — прямая геодезическая задача: определение координат точки по координатам исходной точки, дирекционному углу и горизонтальному проложению линии.
Можно ли вместо дирекционного угла ввести азимут?
Только после перевода. Дирекционный угол отличается от истинного азимута на сближение меридианов γ: α = A − γ. Вблизи осевого меридиана зоны разница мала, на краю зоны может достигать нескольких градусов.
Какое расстояние вводить — измеренное рулеткой или по горизонтали?
Горизонтальное проложение. Если точки на разной высоте, наклонное расстояние сначала приводят к горизонту: S = D · cos ν, где ν — угол наклона.
Подходит ли калькулятор для широты и долготы?
Нет. Формулы работают в плоских прямоугольных координатах. Для широты и долготы (WGS-84) нужна задача на эллипсоиде или предварительный пересчёт в плоскую систему.
Читайте по теме
Комментарии