Расчёт теодолитного хода и ведомость координат

Как считается

Теодолитный ход - ломаная линия, в которой измерены все углы поворота и длины всех сторон. Зная координаты начала и направление первой стороны, можно пройти по ходу и получить координаты каждой вершины. В измерениях есть погрешности, поэтому ход не замыкается, и расхождение (невязку) распределяют по углам и сторонам. Калькулятор делает это в том же порядке, что и ведомость вычисления координат в учебнике.

1. Угловая невязка

Сумма углов замкнутого многоугольника известна заранее: 180°·(n − 2) для внутренних углов и 180°·(n + 2) для внешних, где n - число углов. Какие углы введены, калькулятор видит сам. У разомкнутого хода между двумя твёрдыми пунктами теоретическая сумма зависит от исходного и конечного дирекционных углов: для правых углов Σβ_теор = α_нач − α_кон + 180°·n, для левых α_кон − α_нач + 180°·n. Здесь n - число всех углов вместе с примычными на начальном и конечном пунктах, α_нач - дирекционный угол твёрдой стороны, направленной на начальный пункт, α_кон - с конечного пункта на ориентирный. Если сумма вышла за 360°, её приводят, прибавляя или вычитая 360°. Разница между суммой измеренных углов и теоретической - угловая невязка f_β.

Невязку сравнивают с допуском 1′·√n. Если она в допуске, в каждый угол вводят поправку −f_β/n. Поправки округляются до 0,1″, а остаток от округления калькулятор отдаёт углам, у которых прилегающие стороны короче всего: на коротких сторонах ошибки центрирования прибора и вешек сильнее всего искажают угол. Сумма поправок всегда равна невязке с обратным знаком.

2. Дирекционные углы

Каждый следующий дирекционный угол получают из предыдущего и исправленного угла: для правых по ходу α_i+1 = α_i + 180° − β_i+1, для левых α_i+1 = α_i − 180° + β_i+1. Если вышло больше 360°, вычитают 360°, если меньше нуля - прибавляют. В конце должен получиться исходный угол (в замкнутом ходе) или заданный конечный (в разомкнутом), это контроль вычислений.

3. Приращения и линейная невязка

Приращения координат по каждой стороне: ΔX = d·cos α, ΔY = d·sin α. В замкнутом ходе их суммы должны быть равны нулю, в разомкнутом - разности координат конечного и начального пунктов. Расхождения f_X и f_Y дают абсолютную невязку f_S = √(f_X² + f_Y²). Сама по себе она мало что говорит, поэтому её делят на длину хода P (сумму сторон, в замкнутом ходе это периметр) и записывают дробью 1/N, округляя знаменатель до сотен: 4 см на 700 м хода - это 1/17 500, а те же 4 см на 70 м уже 1/1 750.

4. Уравненные координаты

Если 1/N в допуске, поправки в приращения распределяют пропорционально длинам сторон: δX_i = −f_X·d_i/P, δY_i = −f_Y·d_i/P. Калькулятор считает их в миллиметрах, остаток от округления отдаёт самым длинным сторонам. Сумма длин здесь та же длина хода P. Координаты каждой следующей точки - предыдущие плюс исправленные приращения, и ход точно приходит в исходную точку или в конечный пункт.

Где искать ошибку, если невязка вне допуска

Результат всё равно показывается, но с красной плашкой и подсказкой. При большой угловой невязке калькулятор по очереди относит всю невязку к каждому углу и смотрит, при каком угле линейная невязка становится маленькой. Этот угол и стоит проверить первым: в журнале, в отсчётах, в том, правый он или левый. При угловой невязке в допуске и большой линейной ошибка обычно в длине одной стороны. Невязка тогда направлена почти вдоль этой стороны, поэтому калькулятор называет сторону, чей дирекционный угол ближе всего к направлению невязки (или противоположен ему).

Пример расчёта

Замкнутый ход из пяти точек, углы правые по ходу. Координаты точки 1: X = 5000,00 м, Y = 5000,00 м, дирекционный угол стороны 1-2 α = 35°18′59,4″. Эти же числа подставляет кнопка «Пример».

Сумма измеренных углов 540°00′54″, теоретическая 180°·3 = 540°, значит f_β = +0′54″. Допуск 1′·√5 = 2′14″, невязка в него укладывается, и в каждый угол идёт поправка −10,8″. По исправленным углам дирекционные углы такие: 2-3 98°31′52″, 3-4 165°10′27″, 4-5 252°33′14″, 5-1 299°57′37″, а с углом в точке 1 снова получается исходный 35°18′59,4″, контроль сошёлся.

Длина хода (периметр) 710,01 м. Суммы приращений дают f_X = −0,039 м и f_Y = +0,020 м, абсолютная невязка 0,043 м, относительная 1/16 300. Это заметно лучше допуска 1/2000. Поправки в приращения: +7 или +8 мм по X и −4 мм по Y на каждую сторону.

Для разомкнутого хода кнопка «Пример» берёт тот же полигон: начальный пункт 1, конечный 4, ориентирный пункт с обеих сторон - точка 5 (4930,50; 5120,57). Твёрдые координаты здесь взяты из уравненного замкнутого хода с округлением до сантиметра, поэтому невязки другие: f_β = +1′02″ при допуске 2′00″ и f_S = 0,034 м на 421,78 м хода, то есть 1/12 300. Один ориентирный пункт на оба конца - упрощение для примера, в поле их обычно два.

Что ещё учесть

• Правые или левые углы. Правый угол лежит справа по ходу движения, левый слева, вместе они дают 360°. В разомкнутом ходе не тот тип даст огромную угловую невязку, и калькулятор попросит проверить ввод. В замкнутом ходе невязки останутся прежними, но ход развернётся зеркально, поэтому сверьте схему с абрисом.
• Длины - горизонтальные проложения. Наклонную длину с ленты или дальномера сначала приводят к горизонту. По инструкции ГКИНП-02-033-82 поправку вводят при углах наклона больше 1,5° (п. 10.8.8). Тахеометр может сразу выдавать горизонтальное проложение.
• Какой допуск брать. 1′·√n и 1/2000 стоят по умолчанию, но относительный допуск зависит от длины хода и масштаба съёмки. В таблице 14 той же инструкции для съёмки 1:2000 ход с допуском 1:1000 может быть длиной до 1,0 км, с 1:2000 - до 2,0 км, с 1:3000 - до 3,0 км (первая группа столбцов). В учебных заданиях преподаватель часто даёт свой допуск, его можно вписать в поле.
• Невязку не распределяют, если она вне допуска. Калькулятор всё равно посчитает координаты, но это проверочный расчёт. Правильнее найти ошибку или перемерить: распределённая по всем сторонам грубая ошибка испортит все точки хода.
• Нумерация и порядок. Длина в строке точки - это сторона до следующей точки. В замкнутом ходе длина в последней строке ведёт обратно в точку 1, в разомкнутом у конечного пункта длины нет.