Прямая, обратная и линейная засечка онлайн

Как считается

Геодезическая засечка находит координаты точки P по пунктам, координаты которых уже известны, и по тому, что измерили в поле: углы или расстояния. Вид засечки определяется тем, где стоял прибор и что он мерил.

Прямая угловая засечка

Прибор ставят на два известных пункта A и B. На A измеряют угол β₁ между базисом AB и направлением на P, на B угол β₂ между BA и BP. Саму точку P можно не занимать, поэтому так определяют недоступные точки: трубу на крыше, опору за рекой.

Калькулятор считает по формулам Юнга, через котангенсы углов. Для точки слева от AB (если смотреть с A на B):

X_P = (X_A·ctg β₂ + X_B·ctg β₁ + Y_B − Y_A) / (ctg β₁ + ctg β₂)
Y_P = (Y_A·ctg β₂ + Y_B·ctg β₁ − X_B + X_A) / (ctg β₁ + ctg β₂)

Для точки справа знаки при разностях координат меняются. В формулах Юнга нет тангенсов дирекционных углов, которые уходят в бесконечность около 90° и 270°, поэтому они устойчивы при любой ориентации базиса. Для проверки калькулятор ещё раз находит P прямой геодезической задачей от A и от B через стороны по теореме синусов.

Обратная угловая засечка (задача Потенота)

Здесь наоборот: прибор стоит на определяемой точке и наводится на три пункта A, B, C. Измеряют либо отсчёты по горизонтальному кругу, либо сразу углы A→B и B→C по часовой стрелке. Так ставят тахеометр на стройплощадке, когда встать на пункт нельзя.

Решение по Кассини идёт через две вспомогательные точки. Точка M диаметрально противоположна B на окружности через A, B и P, точка N так же противоположна B на окружности через B, C и P. Поэтому углы BPM и BPN прямые, и P оказывается основанием перпендикуляра из B на прямую MN. Координаты M и N считаются прямо из ctg β₁ и ctg β₂, все промежуточные числа видны в ходе решения.

Если P попадает на окружность через A, B и C, точки M и N совпадают и задача не решается: точка может скользить по дуге окружности, а измеренные углы не меняются. Эту окружность называют опасным кругом. Калькулятор не показывает ответ, когда P ближе 5% радиуса к опасному кругу, и предупреждает, когда ближе 20%. Оба порога выбраны для калькулятора, в инструкциях их нет.

Линейная засечка

Измерены два расстояния: от A до P и от B до P, например рулеткой или дальномером. По теореме косинусов находится угол при A, из него дирекционный угол α_AP = α_AB − ∠A, если P слева от AB, и α_AB + ∠A, если справа. Дальше координаты P считаются прямой задачей. Окружности с центрами A и B пересекаются в двух точках, поэтому сторону приходится указать.

У всех трёх видов калькулятор показывает, куда уедет точка, если каждый из двух углов ошибся на 5″ (в линейной засечке каждое расстояние на 1 см). Сдвиги от двух измерений складываются квадратично. Оценка грубая и говорит о геометрии засечки, среднюю квадратическую ошибку по инструкции так не получить.

Пример расчёта

Пункты A (1000,000; 1000,000), B (1000,000; 1500,000), C (1600,000; 1300,000). Эти же числа подставляет кнопка «Пример».

В прямой засечке угол при P γ = 180° − 56°18′35,8″ − 45°00′00″ = 78°41′24″, он в пределах 30–150°, предупреждения нет. Дирекционные углы получаются α_AP = 33°41′24″ и α_BP = 315°00′00″.

В обратной засечке в режиме углов те же измерения выглядят так: β₁ (A→B) = 274°34′26,1″, β₂ (B→C) = 202°50′01,1″. Углы больше 180° здесь нормальны, их отсчитывают по часовой. Окружность через A, B и C имеет центр (1250; 1250) и радиус 353,6 м. Точка P лежит в 100 м от центра, до окружности 253,6 м, это 71,7% радиуса.

Для точки (1250,000; 1603,553) на самой окружности отсчёты были бы такими: на A 0°00′00,0″, на B 314°59′59,8″, на C 71°33′54,4″. Введите их, и калькулятор вместо ответа напишет, что точка на опасном круге.

Что ещё учесть

• Угол засечки при P. В прямой и линейной засечке направления на P должны сходиться под углом от 30° до 150°. За этими пределами небольшая ошибка измерений сильно сдвигает точку, и калькулятор об этом предупреждает. Насколько сильно, видно в строке «Сдвиг P».
• Сторона точки. В прямой и линейной засечке одни и те же числа дают две точки, зеркальные относительно AB. «Слева» и «справа» считаются, если смотреть с A на B.
• Порядок пунктов в задаче Потенота. Отсчёты можно вводить в любом порядке обхода, но угол A→B равен отсчёту на B минус отсчёт на A. Перепутали буквы пунктов, получили другую точку.
• Контроль. Засечка по минимуму измерений своих ошибок не видит. Третье направление в прямой засечке и четвёртый пункт в обратной дают расхождение, по которому видно, можно ли верить результату.
• Система координат. Все пункты должны быть в одной плоской прямоугольной системе: МСК, СК-42 или СК-95 в зоне Гаусса - Крюгера, условной системе стройплощадки. Широту и долготу из WGS-84 сначала переведите в плоские X, Y.