Прямая геодезическая задача онлайн: калькулятор и формулы

Рубрика: Геодезия и расчёты

Прямая геодезическая задача (ПГЗ) — это вычисление координат второй точки по координатам первой, дирекционному углу и длине линии между ними. Введите X и Y исходной точки, угол и расстояние в калькулятор ниже: он вернёт координаты искомой точки. Под калькулятором — формулы, знаки приращений по четвертям и разобранный пример, чтобы проверить расчёт вручную или в Excel.

Калькулятор прямой геодезической задачи онлайн

Координаты вводятся в метрах, в одной плоской системе: МСК, СК-42, СК-63 или местной. Дирекционный угол — от 0° до 360°, длина линии — горизонтальное проложение в метрах.

Формулы прямой геодезической задачи

Дано: точка A (X_A; Y_A), дирекционный угол линии α_AB и её горизонтальное проложение S_AB. Найти: координаты точки B (X_B; Y_B).

В геодезии ось X направлена на север, ось Y — на восток. Поэтому косинус угла даёт приращение по X, а синус — по Y, а не наоборот, как в школьной математике.

Приращения координат: ΔX = S · cos α; ΔY = S · sin α.
Координаты точки B: X_B = X_A + ΔX; Y_B = Y_A + ΔY.

Приращения — это проекции отрезка AB на оси координат. Длина S всегда положительна, поэтому знаки ΔX и ΔY определяются знаками косинуса и синуса, то есть четвертью, в которую направлена линия.

Знаки приращений по четвертям

Если вместо дирекционного угла известен румб r, приращения считают по модулю: |ΔX| = S · cos r, |ΔY| = S · sin r. Знаки берут по названию румба из таблицы.

Знаки приращений координат
Дирекционный угол α	Четверть, румб	ΔX	ΔY
0°–90°	I, СВ	+	+
90°–180°	II, ЮВ	−	+
180°–270°	III, ЮЗ	−	−
270°–360°	IV, СЗ	+	−

Пример решения

Дано: A (1000,00; 2000,00), α_AB = 321°20′25″, S_AB = 320,16 м.

Переводим угол в градусы: 321 + 20/60 + 25/3600 = 321,3403°.
cos α = 0,78087; sin α = −0,62470. Угол в IV четверти: ΔX положительно, ΔY отрицательно — совпадает с таблицей.
ΔX = 320,16 · 0,78087 = +250,00 м; ΔY = 320,16 · (−0,62470) = −200,00 м.
X_B = 1000,00 + 250,00 = 1250,00 м; Y_B = 2000,00 − 200,00 = 1800,00 м.

Проверка: решите для точек A и B обратную геодезическую задачу. Она должна вернуть тот же угол 321°20′25″ и ту же длину 320,16 м.

Как решить ПГЗ в Excel

Пусть X_A в ячейке A1, Y_A — в B1, дирекционный угол в десятичных градусах — в C1, длина — в D1.

X_B: =A1+D1*COS(РАДИАНЫ(C1))
Y_B: =B1+D1*SIN(РАДИАНЫ(C1))
Перевод угла из градусов, минут и секунд (в ячейках E1, F1, G1): =E1+F1/60+G1/3600

Excel считает тригонометрию в радианах, поэтому без функции РАДИАНЫ результат будет неверным.

Прямая задача в теодолитном ходе

Чаще всего ПГЗ решают при обработке теодолитного хода: координаты каждой следующей точки равны координатам предыдущей плюс приращения. Дирекционный угол следующей стороны получают из предыдущего и измеренного угла поворота: при правых по ходу углах α_n+1 = α_n + 180° − β. Если результат больше 360°, вычитают 360°, если меньше 0° — прибавляют.

В замкнутом ходе сумма всех приращений по X и по Y теоретически равна нулю. Фактическая сумма — это невязка, по ней оценивают точность хода.

Чем прямая задача отличается от обратной

В прямой задаче по точке, углу и расстоянию находят координаты второй точки. В обратной — наоборот: по координатам двух точек находят угол и расстояние. Прямую задачу решают при вычислении координат точек хода, при выносе проектных точек и при восстановлении поворотных точек границы по углу и длине.

Частые вопросы

Что такое ПГЗ в геодезии?

ПГЗ — прямая геодезическая задача: определение координат точки по координатам исходной точки, дирекционному углу и горизонтальному проложению линии.

Можно ли вместо дирекционного угла ввести азимут?

Только после перевода. Дирекционный угол отличается от истинного азимута на сближение меридианов γ: α = A − γ. Вблизи осевого меридиана зоны разница мала, на краю зоны может достигать нескольких градусов.

Какое расстояние вводить — измеренное рулеткой или по горизонтали?

Горизонтальное проложение. Если точки на разной высоте, наклонное расстояние сначала приводят к горизонту: S = D · cos ν, где ν — угол наклона.

Подходит ли калькулятор для широты и долготы?

Нет. Формулы работают в плоских прямоугольных координатах. Для широты и долготы (WGS-84) нужна задача на эллипсоиде или предварительный пересчёт в плоскую систему.