Дирекционный угол: как найти по координатам и по карте

Рубрика: Геодезия и расчёты

Дирекционный угол отсчитывают от северного направления оси X (или линии, параллельной ей) до линии по часовой стрелке, от 0 до 360° (ГОСТ 22268-76, термин 59). По координатам его находят через приращения ΔX и ΔY, по карте измеряют транспортиром от вертикальной линии километровой сетки. Румб это тот же угол, приведённый к острому: от 0 до 90° плюс название четверти, например ЮЗ 50°27′52″.

Схема: оси X и Y, линия AB в юго-западной четверти, дирекционный угол 230°27′52″ от севера и румб ЮЗ 50°27′52″ от юга, приращения ΔX и ΔY — Пример из статьи: дирекционный угол отсчитывают от севера оси X, румб от ближайшего конца линии север-юг

Что такое дирекционный угол

Определение есть в ГОСТ 22268-76 «Геодезия. Термины и определения», термин 59: «Угол между проходящим через данную точку направлением и линией, параллельной оси абсцисс, отсчитываемый от северного направления оси абсцисс по ходу часовой стрелки».

Ось абсцисс в геодезии это ось X, и смотрит она на север. Ось Y идёт на восток. В школьной математике наоборот, и на этом легко ошибиться. В зональной системе ось X совпадает с осевым меридианом зоны, в местной системе (МСК) с тем направлением, которое принято за ось при её создании.

Почему не мерить сразу от меридиана? Меридианы сходятся к полюсу, и у двух точек одной линии направления на север немного разные. Линии, параллельные оси X, везде параллельны друг другу. Поэтому дирекционный угол отрезка один и тот же по всей длине, а азимут от точки к точке немного меняется. На этом держатся расчёты по координатам: ходы, засечки, вынос точек в натуру.

Как найти дирекционный угол по координатам

Даны точки A (X_A; Y_A) и B (X_B; Y_B). Сначала приращения:

ΔX = X_B − X_A; ΔY = Y_B − Y_A.

Потом острый угол, румб: tg r = |ΔY| / |ΔX|, r = arctg(|ΔY| / |ΔX|). Модули нужны, чтобы угол получился от 0 до 90°. Четверть дают знаки приращений, по ней румб переводят в дирекционный угол (таблица в следующем разделе).

Если считаете в Excel или в программе, четверти можно не разбирать: функция ATAN2 учитывает знаки сама. В Excel формула такая: =ОСТАТ(ГРАДУСЫ(ATAN2(ΔX;ΔY));360), первым аргументом идёт ΔX. ATAN2 возвращает угол от −180° до 180°, ОСТАТ по 360 переводит отрицательные значения в привычный диапазон. В Python и JavaScript порядок аргументов обратный: atan2(dY, dX). В Python math.degrees(math.atan2(dY, dX)) % 360 сразу даёт 0-360°, а в JavaScript остаток сохраняет знак, поэтому пишут (deg % 360 + 360) % 360.

Длину линии считают заодно: S = √(ΔX² + ΔY²). Всё это вместе называется обратной геодезической задачей, и на сайте есть калькулятор обратной геодезической задачи: вводите четыре координаты и сразу видите угол, румб и длину.

Что такое румб и как перевести его в дирекционный угол

Румб линии это острый горизонтальный угол от ближайшего конца линии север-юг до направления линии. В ГОСТ 22268-76 такого термина нет, определение даём по учебнику Г. А. Уставича (§ 43). Если линии север-юг параллельны оси X, получается румб, связанный с дирекционным углом. Его величину без названия четверти в учебниках называют табличным углом.

Сам по себе румб направление не задаёт: угол 50° бывает в каждой из четырёх четвертей. Поэтому его пишут с названием: СВ, ЮВ, ЮЗ или СЗ.

Круг с четырьмя четвертями СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ, в каждой линия с румбом r, формула перевода в дирекционный угол и знаки ΔX и ΔY — Четверть определяют знаки приращений, румб отсчитывают от ближайшего из направлений север или юг

Перевод румба в дирекционный угол и обратно
Четверть	ΔX	ΔY	Дирекционный угол	Румб через α	α через румб
I, СВ	+	+	0-90°	r = α	α = r
II, ЮВ	−	+	90-180°	r = 180° − α	α = 180° − r
III, ЮЗ	−	−	180-270°	r = α − 180°	α = 180° + r
IV, СЗ	+	−	270-360°	r = 360° − α	α = 360° − r

Граничные случаи, на которых обычно спотыкаются:

ΔY = 0, ΔX > 0: линия строго на север, α = 0°, румб С 0°.
ΔX = 0, ΔY > 0: строго на восток, α = 90°, румб В 90°. Формула с тангенсом здесь делит на ноль, угол берут сразу.
ΔY = 0, ΔX < 0: строго на юг, α = 180°, румб Ю 0°.
ΔX = 0, ΔY < 0: строго на запад, α = 270°.
Угол получился больше 360° (так бывает при передаче углов по ходу): вычтите 360°. Например, 425° превращаются в 65°.
Угол получился отрицательным: прибавьте 360°. −35° это 325°.

Геодезический румб не путайте с морским. На компасной розе румбом называют одно из 32 делений окружности, то есть 11,25°, и направления там зовут словами: «норд-ост», «зюйд-вест». С геодезией это пересекается только словом.

Как посчитать дирекционный угол на примере

Возьмём две точки в метрах, в одной плоской системе:

A: X = 5320,45; Y = 3810,72;
B: X = 5148,30; Y = 3602,15.

Шаг 1. Приращения. ΔX = 5148,30 − 5320,45 = −172,15 м. ΔY = 3602,15 − 3810,72 = −208,57 м.

Шаг 2. Румб. tg r = 208,57 / 172,15 = 1,21156. r = arctg 1,21156 = 50°27′52″.

Шаг 3. Четверть. Оба приращения отрицательные: линия идёт на юго-запад, III четверть, румб ЮЗ 50°27′52″.

Шаг 4. Дирекционный угол. α = 180° + r = 180° + 50°27′52″ = 230°27′52″.

Шаг 5. Обратный угол. α_BA = 230°27′52″ − 180° = 50°27′52″. Румб обратного направления СВ 50°27′52″.

Шаг 6. Длина. S = √(172,15² + 208,57²) = 270,44 м.

Проверка. Подставьте A, угол 230°27′52″ и длину 270,439 м в калькулятор прямой геодезической задачи. Он вернёт X = 5148,300 и Y = 3602,149. Миллиметр по Y набежал от округления: угол до секунды, длина до миллиметра. Для координат с точностью до сантиметра это нормально.

Тот же пример в калькуляторе ОГЗ даёт 230°27′52″, ЮЗ 50°27′52″ и 270,439 м: совпадает до секунды. Если у вас вышло 39°32′08″, вы поделили ΔX на ΔY, а не наоборот.

Как найти обратный дирекционный угол

Прямое и обратное направление одной линии отличаются ровно на 180°:

α_BA = α_AB ± 180°.

Плюс берут, если прямой угол меньше 180°, минус, если больше. В примере выше 230°27′52″ − 180° = 50°27′52″. С азимутом так не выходит: у него прямой и обратный отличаются ещё на сближение меридианов, потому что меридианы в начале и в конце линии не параллельны.

С румбом проще всего. Величина у обратного направления та же, а название меняется на противоположное: СВ на ЮЗ, ЮВ на СЗ. Отсюда ответ на частую задачу: если румб прямого направления ЮЗ 59°, то дирекционный угол прямого 239°, а обратного 59°, румб СВ 59°.

Обратный угол нужен постоянно в теодолитном ходе. Дирекционный угол следующей стороны получают из предыдущего: при правых по ходу углах α_n+1 = α_n + 180° − β. Подробнее в статье про теодолитный ход, а сами расчёты делает калькулятор теодолитного хода.

Как измерить дирекционный угол по карте

На топографической карте вертикальные линии километровой сетки параллельны оси X. Значит, угол, измеренный от них, и есть дирекционный.

Соедините начальную и конечную точки тонкой линией карандашом. Если линия короткая, продлите её, чтобы пересечь ближайшую вертикальную линию сетки.
Положите транспортир центром в точку, где ваша линия пересекает вертикальную линию сетки, нулём на её северное направление. Если начальная точка стоит на линии сетки, как на схеме, центр ставят прямо в неё.
Отсчитайте угол по часовой стрелке до вашей линии.
Если линия уходит на запад и угол больше 180°, обычный транспортир не дотянется. Приложите его нулём к южному направлению, отсчитайте угол и прибавьте 180°.

Километровая сетка карты, транспортир центром в точке A на вертикальной линии сетки, ноль на её северном направлении, линия AB под углом 62° — Угол от вертикальной линии километровой сетки и есть дирекционный

У обычного транспортира деления через градус, так что по карте угол получится с точностью до градуса, полградуса оценивают на глаз. Для ориентирования на местности хватает. Для расчётов координат берут не карту, а координаты точек и обратную задачу.

Ещё один вариант: снять с карты координаты обеих точек по сетке и посчитать угол по формулам выше. Так точнее, чем транспортиром, особенно для коротких линий.

Чем дирекционный угол отличается от азимута

Азимут отсчитывают от меридиана точки, дирекционный угол от линии, параллельной оси X. Оба по часовой стрелке и от севера. В ГОСТ 22268-76 есть географический и геодезический азимуты (термины 55 и 57). Разницу между меридианом и линией, параллельной оси X, называют сближением меридианов (термин 61), обозначают γ.

Связь такая:

A = α + γ, α = A − γ.

Знак γ зависит от того, где точка. В северном полушарии восточнее осевого меридиана зоны сближение считают положительным, западнее отрицательным. На самом осевом меридиане γ = 0, и азимут совпадает с дирекционным углом. В шестиградусной зоне гауссово сближение не превышает 3°. На топографической карте его значение для листа подписано на полях, на схеме внизу слева, рядом со склонением.

Истинный меридиан, линия параллельная оси X, магнитный меридиан и направление на точку B; углы A, α, Aм, сближение γ и склонение δ — Азимут больше дирекционного угла на сближение меридианов, если точка восточнее осевого меридиана

Компас показывает третий угол, магнитный азимут A_м. Его отсчитывают от магнитного меридиана, а он отклонён от истинного на магнитное склонение δ: восточное считают со знаком плюс, западное с минусом. Тогда A = A_м + δ, а дирекционный угол α = A_м + δ − γ. Разность δ − γ на картах называют поправкой направления. Склонение меняется со временем, поэтому на карте рядом с ним стоит год и годовое изменение.

Где чаще всего ошибаются

Перепутаны X и Y. Ось X в геодезии вертикальная. Если подставить координаты «по-школьному», угол выйдет дополнением до 90° или зеркальным.
Калькулятор в радианах. arctg 1,21156 в радианах даёт 0,8808. Это 50,46°, но в ответ иногда пишут «0,88°».
Потеряна четверть. arctg от отношения без модулей даёт отрицательный угол или угол не из той четверти. Сначала знаки ΔX и ΔY, потом формула из таблицы.
Румб СЗ принят за первую четверть. Румб СЗ 30° это α = 330°, а не 30°.
Аргументы ATAN2 переставлены. В Excel первым идёт ΔX, в Python и JavaScript первым идёт ΔY.
Градусы и минуты как десятичная дробь. 50°27′ это 50,45°, а не 50,27°.

Частые вопросы

Может ли дирекционный угол быть больше 360°?

Нет, по определению он от 0 до 360°. Больше 360° получается промежуточный результат, например при передаче углов по ходу. Его приводят к диапазону, вычитая 360°.

Чем румб отличается от азимута?

Азимут отсчитывают от севера по часовой стрелке до 360°. Румб острый, от 0 до 90°, отсчитывают от ближайшего конца линии север-юг, и без названия четверти он неполный. Плюс азимут привязан к меридиану, а румб в расчётах по координатам привязан к оси X, как дирекционный угол.

Как посчитать дирекционный угол в Excel?

Формулой с ATAN2 из раздела про координаты: ΔX в одной ячейке, ΔY в другой, ΔX первым аргументом. Результат выйдет в десятичных градусах. Как перевести его в градусы, минуты и секунды, показано в статье про обратную геодезическую задачу, там же формула длины линии.

Почему калькулятор показывает другой угол, чем у меня в тетради?

Чаще всего из-за порядка точек. Угол AB и угол BA отличаются на 180°. Второе по частоте: X и Y введены наоборот. Проверьте, что X это северная координата, обычно она стоит первой.

Как определить дирекционный угол на местности?

Компасом измерьте магнитный азимут и учтите поправку направления с карты: α = A_м + δ − γ. Склонение δ и сближение γ для листа карты подписаны на схеме внизу слева. Точность выйдет на уровне компаса, то есть градусы, а не секунды.

Источники

ГОСТ 22268-76 «Геодезия. Термины и определения» (ред. от 24.07.1981): термины 55, 57, 59, 61. Сверено 10.11.2026.
Уставич Г. А. Геодезия. Кн. 1. Новосибирск: СГГА, 2012. Гл. 4 «Ориентирование», §§ 43-47: определение румба, связь румбов и дирекционных углов, сближение меридианов, магнитный азимут.